La rentrée des Masters

Mini-cours

• Katharina Eichinger (LMO, Université Paris-Saclay et ParMA team, Inria Saclay) - "The isoperimetric problem via optimal transport" - Salle à définir
  Résumé : When Dido was promised as much land as she could enclose with strips of the skin of a bull, she intuitively found a way to maximize the area of her territory. This is nowadays known as the isoperimetric problem of finding the largest area enclosed by a given length. The first rigorous mathematical treatment however seems to date back only to Euler in the 18th century. Since then, there have been many proofs and extensions of the isoperimetric problem. Here we will approach it using the Brunn-Minkowski inequality and also give an elegant proof of Brunn-Minkowski itself via optimal transport theory.
  Optimal transport has been initiated by the French mathematician Gaspard Monge in 1781 as a problem of finding a way to transport mass from one location to another one while minimizing a prescribed cost. Since then, the theory has developed into a powerful mathematical framework with applications in many domains, such as physics and more recently artificial intelligence. Here, we are going to introduce the basic optimal transport theory and see how its interactions with functional inequalities and geometry on the Euclidian space can be used to solve Dido’s problem.
• Amaury Freslon (LMO, Université Paris-Saclay) - "Les graphes dans le monde quantique" - Salle à définir
  Résumé : L'isomorphisme de graphes est l'un des problèmes fondamentaux de l'informatique théorique et de la combinatoire. Ces dernières années, les idées issues de la théorie de l'information quantique ont conduit à de nouvelles notions, surprenantes, de symétrie et d'équivalence des graphes, révélant que les ressources quantiques permettent de distinguer - ou d'identifier - des graphes d'une manière impossible dans le cadre classique. Ces développements ont mis en lumière des liens profonds entre la théorie des graphes, l'analyse fonctionnelle et la géométrie non commutative.
  Nous donnerons une présentation introductive de ces idées. Nous commencerons par le problème classique de l'isomorphisme de graphes et sa reformulation sous la forme d'un jeu à deux joueurs. Nous introduirons ensuite les stratégies quantiques, qui conduisent naturellement à la notion d'isomorphisme quantique. Nous conclurons enfin par une caractérisation récente de l'isomorphisme quantique en termes de comptage d'homomorphismes issus de graphes planaires, qui offre un bel exemple d'interaction entre différents champs des mathématiques.
• Luca Ganassali (LMO, Université Paris-Saclay) - "Topics in random graphs" - Salle à définir
  Résumé : This mini-course introduces key models and fundamental results in the widely studied field of random graph theory, at the intersection of probability, combinatorics, computer science, and statistics.
  We will begin with the seminal Erdős-Rényi model and study its structural properties such as degree distributions and connectivity. An beautiful result is that, when the size of the graph grows, a so-called threshold phenomena — which we will discuss — appear for most of these properties.
  We will then explore how community structure can be incorporated into random graphs through the Stochastic Block Model. Building on our understanding of Erdős–Rényi graphs, we will study the statistical distinguishability of these models and address the following fundamental question: can we distinguish a random graph with community structure from a graph with no underlying communities? 
  Throughout the mini-course, formal proofs will be complemented by intuition and interpretation to develop both a rigorous and conceptual understanding of the subject.

Exposés

• Alix Deruelle (LMO, Université Paris-Saclay) - "Dualité convexe : de Blaschke–Santaló à la conjecture de Mahler"
  Résumé : L’inégalité de Blaschke–Santaló est un résultat fondamental de géométrie convexe qui affirme que le produit des volumes d’un corps convexe symétrique et de son polaire est maximal pour les ellipsoïdes. Nous introduirons la dualité polaire, les jauges et le lien avec les normes duales, avant d’examiner quelques exemples fondamentaux, notamment le cube et le simplexe. Nous présenterons ensuite la version fonctionnelle de Blaschke–Santaló, où la dualité polaire est remplacée par la transformée de Legendre et les corps convexes par des fonctions log-concaves. Nous verrons comment l'équation de la chaleur permet de prouver une telle inégalité fonctionnelle. Enfin, nous aborderons la conjecture de Mahler, qui propose un problème inverse : les corps les plus « anguleux », en particulier le cube et le simplexe, devraient minimiser le produit volumique. L’objectif est de faire apparaître, à travers ces différents cadres, un même principe de dualité entre convexité, géométrie et analyse.
• Mélanie Guenais (LMO, Université Paris-Saclay) - "Mathématiques et société, au-delà des idées reçues"

Exposés Lecteurs/Lectrices Hadamard

• Élisa Marini (CMAP, École Polytechnique) - "Collective self-sustained rhythmic behaviors in large systems of interacting particles"
  Résumé : In the first part of the talk, we will provide an overview of collective rhythmic behaviors in stochastic systems of interacting components. Loosely speaking, such phenomena occur when a macroscopic observable of the system exhibits—typically in appropriate limiting regimes—persistent oscillations, even though its individual components have no periodic dynamics and are not subject to any external periodic forcing. Although such phenomena are ubiquitous in real-world systems—for instance, in neural networks, predator–prey dynamics, and epidemiology—they remain poorly understood from a theoretical standpoint. In the second part of the talk, we will present a toy model of interacting diffusions that displays collective oscillations. This example will illustrate some of the mechanisms that can give rise to collective rhythmic behaviors and provide a glimpse of the mathematics involved in their rigorous analysis. 
• Maria-Teresa Rotolo  (LMJL, Université Nantes) - "Describing instabilities in dispersive PDEs: a dynamical systems approach"
• Radu Toma (LMO, Université Paris-Saclay) - "Integer points on spheres throughout the centuries"