Rentrée des Masters 2023

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Mini-cours :

 

"Géométrie et approximation" par Blanche Buet

Résumé : Lorsqu'on travaille avec des courbes (des surfaces) paramétrées régulières, il existe de nombreuses façons de définir la courbure, mais on l'introduit souvent à partir d'une dérivée seconde de la paramétrisation. Cependant, lorsqu'on passe d'une courbe paramétrée régulière à une discrétisation, par exemple une courbe paramétrée affine par morceaux, la dérivée d'ordre 2 est nulle partout sauf aux jonctions où elle n'est pas définie au sens usuel. Et si l'on passe ensuite à une discrétisation de la courbe donnée seulement par un nuage de points, on perd toute régularité mais aussi la paramétrisation : on ne sait a priori pas dans quel ordre parcourir les points par exemple. La théorie géométrique de la mesure permet néanmoins de définir des notions de courbure généralisée qui s'adaptent au cadre discret, et présentent de plus de bonnes propriétés de stabilité : si deux courbes (surfaces) discrètes ou régulières sont proches alors leurs courbures généralisées respectives seront proches, et on peut quantifier le "proche" en question de façon rigoureuse. Dans ce mini-cours, on expliquera comment on peut définir une telle notion de courbure généralisée : on se restreindra principalement au cadre des courbes et de leurs discrétisations afin de rester en adéquation avec les acquis de la licence, bien que l'approche exposée se généralise aux surfaces et sous-variétés de dimension supérieure. Au-delà de la problématique d'estimer la courbure, on espère illustrer l'intérêt du cadre théorique offert par la théorie géométrique de la mesure dans la modélisation des courbes et surfaces discrètes.

 

"Dynamics and Subgroups of SL(n,Z)" par Matthieu Joseph

Résumé : In this mini-course, we will dive into a very recent theme of research at the crossroads of group theory and dynamical systems. The aim is to give an elementary proof of two consequential results for the group SL(n,Z) with n>2. The first one states that SL(n,Z) has relatively few normal subgroups. The second result consists of saying that dynamical systems of SL(n,Z) are very rigid in some sense. A variety of tools will be developed during this mini-course, some with a dynamical flavor (Poincaré recurrence theorem, Ping-pong lemma, etc.), others with a more algebraic flavor (Bruhat decomposition, Boomerang subgroups, etc...). 

 

"Percolation" par Sébastien Martineau

Résumé : Que peut-on dire de la géométrie du dessin aléatoire suivant ?
Quelle tête ont les composantes connexes ?
Et pourquoi est-ce intéressant ?

La percolation propose de jolis problèmes et résultats mêlant géométrie discrète et probabilité. Ceux-ci peuvent être appréciés aussi bien sous un angle purement mathématique que depuis une perspective « physique statistique ». (Aucune connaissance préalable en physique n'est requise pour suivre ce cours.) Au fil de ce cours, on découvrira que tirer des sous-graphes au hasard dans un graphe fixé (ci-dessus le réseau carré) donne lieu à de beaux problèmes, à une théorie foisonnante, ainsi qu'à des conjectures simples à énoncer et pourtant ouvertes à ce jour.

 

Exposés :

"La modélisation mathématique pour des applications bio-médicales, l'exemple du signal électrique dans le coeur" par Muriel Boulakia

Résumé : Dans cet exposé, nous nous intéresserons à la modélisation mathématique du signal électrique dans le coeur. Tout d’abord, nous présenterons différents modèles plus ou moins précis basés sur des équations aux dérivées partielles qui décrivent l’évolution du potentiel électrique dans le tissu cardiaque. Nous verrons que l'approximation numérique d'un modèle bien choisi permet de réaliser des simulations numériques qui reproduisent de façon réaliste les électrocardiogrammes, l’enregistrement standard de l’activité électrique du coeur. Dans un second temps, nous verrons comment la modélisation peut être utilisée pour apporter une aide au diagnostic médical à travers l'exemple de l’identification d’une zone ayant subi un infarctus. 

 

"Mouvement chaotique des planètes dans le système solaire" par Jacques Laskar

 

"Discriminant de polynomes homogènes à plusieurs variables : géométrie et arithmétique" par Thomas Mordant (Lecteur Hadamard)

Résumé : Le but de cet exposé est d’abord d’expliquer ce qu’est le discriminant d’un polynôme homogène de degré d à n variables, en insistant sur son aspect géométrique, et dans un deuxième temps, d’énoncer des conjectures arithmétiques difficiles liées à cette notion.

 

"Les probabilités au service du déterminisme : lien entre le mouvement brownien et l'équation de la chaleur" par Yoan Tardy (Lecteur Hadamard)

Résumé : Le mouvement Brownien est un objet mathématique décrivant un déplacement totalement aléatoire, analogue à celui d'un grain de pollen poussé de toute part par l'agitation thermique ou à celui d'un cours boursier. Surprenamment, ce mouvement en apparence totalement chaotique est naturellement connecté à une équation totalement déterministe et permet d'en simplifier l'étude : l'équation de la chaleur. Nous présenterons dans un premier temps le mouvement Brownien de manière qualitative, puis nous verrons le lien entre cet objet et l'équation de la chaleur que nous introduirons. Enfin si le temps le permet, nous étendrons l'exposé au delà de l'équation de la chaleur en inspectant d'autres équations mettant un jeu un phénomène de diffusion comme par exemple l'EDP de Keller-Segel et expliquerons en quoi le monde stochastique nous permet de mieux comprendre le monde déterministe dans ce cadre.